AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS
DA INGAZEIRA
- AEDAI
FACULDADE DE FORM. DE PROFESSORES
DE AFOGADOS DA INGAZEIRA - FAFOPAI
CURSO: MATEMÁTICA;PERÍODO:
7º DISCIPLINA: ÁLGEBRA ABSTRATA
PROFESSORA: LUCIA MARIA DE
QUEIROZ CAMPOS
UM MINI-CURSO DE
ARITMÉTICA DOS INTEIROS
1.
O PRINCÍPIO DO MENOR INTEIRO
Todo subconjunto não vazio A do conjunto Z dos números
inteiros, limitado inferiormente, possui um primeiro elemento, menor que os demais
elementos de A, a que chamaremos de mínimo de A. E todo subconjunto B de Z, não
vazio, limitado superiormente, possui um último elemento, maior que os demais
elementos de B, a que chamaremos de máximo de B.
2.
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
DEFINIÇÃO 1.1 Para cada inteiro x
define-se o inteiro valor absoluto de x ou módulo de x, denotado por
, pela igualdade:
Proposição
1.1 Para cada x, e cada y, x e y inteiros, tem-se
1.
2.
3.
4.
5.
3.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
DEFINIÇÃO 1.2 Dados dois inteiros a e
b, dizemos que
• a divide b, ou que
• a é divisor de b, ou
que
• a é fator de b, ou
ainda que
• b é múltiplo de a,
Se existe um inteiro c,
tal que b = a .c.
OBSERVAÇÃO1.1Se a e b são inteiros, escrevemos
aǀb
para denotar que a divide b. Se a não divide b, denotaremos ałb.
OBSERVAÇÃO 1.2 Ao denotar que a divide b, não escreva a / b e nem
tampouco a \ b. Lembre-se que a / b denota a fração a sobre b no conjunto dos
números racionais. Já a \ b, com a e b inteiros é notação que carece de
significado.
EXEMPLO 1.1
• 2 ǀ (-6), pois -6 = 2 . (-3)
• Para cada inteiro a, a ǀ ae a ǀ 0,
pois, respectivamente, a = a.1 e 0 = a.0
• 0 ǀ 0 (zero divide zero!), pois 0 =
0 . c, para qualquer inteiro c∀m,n
• 0 ǀ a ↔ a = 0. De fato, 0 ǀ a ↔ a =
0. C = 0, para algum inteiro c.
PROPOSIÇÃO 1.2 Para cada a, cada b,
e cada c, todos inteiros,
1. a ǀ a
2. aǀb e bǀa ↔ a = ±b
3. aǀb e bǀc
=>aǀc
4. aǀb e aǀc
=>aǀ(mb±nc),∈Z
5. aǀbaǀ (b±c)
DEMONSTRAÇÃO
sejam a, b e c números inteiros. Então
2. aǀb e bǀa
para certos inteiros x e
y
Se a = 0, então b= ax
=0
Se a ≠0, então a = a(xy)
Logo, a = by = b(±1) = ± b.
Reciprocamente, a = ±b
4.
ALGORITMO DA DIVISÃO EUCLIDIANA
TEOREMA DO ALGORITMO DA DIVISÃO EM N.
Para cada inteiro n e cada inteiro d ≠0,
existem inteiros q e r satisfazendo
n= d . q + r 0≤ r <
d
Além disso, os inteiros
q e r, nas condições acima, são únicos.
A versão mais útil
desse teorema, para os inteiros, tem a seguinte forma:
TEOREMA 1.1 ( ALGORITMO
DA DIVISÃO EM Z) Para cada inteiro n, e
cada inteiro d, com d≠
0, existem inteiros q ( quociente ) e r (resto) satisfazendo:
n = dq + re 0 ≤
r <
Além disso os inteiros
q e r, nas condições acima, são únicos.
EXEMPLOS DE ILUSTRAÇÃO
Na divisão euclidiana
de 23 p0r 10 temos 23
resto→ 3
2 ←
quociente
Na divisão – 23 por 10
seríamos tentados a fazer -23
-3-2
É claro que -23 = 10 .
(-2) + (-3), mas se quisermos o resto r nas condições do teorema 1.1( r não
negativo e menor que o valor absoluto do divisor), o quociente e oresto no
diagrama acima são inadequados. O diagrama correto seria -23
7-3
Pois -23 = 10 . (-3) +
7 e 0 ≤
7<
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA
1.1
I.
Existência de q e r.
( 1º caso n≥ 0). Como
>
0, pelo algoritmo da divisão em N, existem números naturais q e r satisfazendo
n =
.
q + r , 0 ≤ r <
Teremos então n = dq’ + r, com 0≤ r <
, sendo
q’
= ±q
conforme tenhamos, respectivamente, d >
0 ou d<
0.
( 2º caso: n < 0 ) Como
>
0, pelo algoritmo da divisão em N, existem q, r ∈ N satisfazendo
=
q + re
0 ≤
r <
Então temos
-n=
q + r
n= -
q – r
Se r = 0,teremos n = -
q
= d(±q), conforme tenhamos,
respectivamente, d > 0 ou d < 0, logo n = d(±q)
+ 0.
Se r ≠0, teremos n =
-
q – r
= -
q -
+
–
r
=
(-q-1) + (
–
r)
= dq’ + r’
Sendo q’ = ± (q + 1) (conforme se tenha,
respectivamente, d > 0 ou d < 0) e r’ =
– r.
Note
que 0 < r <
-
<
-r < 0
+
<
-r +
<
0 < r’<
II.
Unicidade de q e r.
Sejam n e d dois inteiros, com d ≠0, e suponhamos que
existam inteiros q1,q2, r1 e r2 satisfazendo
n = dq1 +
r1 = dq2 + r2,com 0 ≤ r1 , r2<
Então
d(q1 – q2) = r2 – r1
.
=
Sendo 0≤ r1, r2
<
,
temos então
<
Daí,
.
=
<
<
1
q1
– q2 = 0
q1
= q2 e então, também, r1 = r2.
