APOSTILA DE ÁLGEBRA 01-03-12

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA                                -                      AEDAI

FACULDADE DE FORM. DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA      -                  FAFOPAI

CURSO: MATEMÁTICA;PERÍODO: 7º  DISCIPLINA: ÁLGEBRA ABSTRATA

PROFESSORA: LUCIA MARIA DE QUEIROZ CAMPOS

UM MINI-CURSO DE ARITMÉTICA DOS INTEIROS

1.       O PRINCÍPIO DO MENOR INTEIRO

Todo subconjunto não vazio A do conjunto Z dos números inteiros, limitado inferiormente, possui um primeiro elemento, menor que os demais elementos de A, a que chamaremos de mínimo de A. E todo subconjunto B de Z, não vazio, limitado superiormente, possui um último elemento, maior que os demais elementos de B, a que chamaremos de máximo de B.

2.       VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO

DEFINIÇÃO 1.1 Para cada inteiro x define-se o inteiro valor absoluto de x ou módulo de x, denotado por , pela igualdade:

     Proposição 1.1 Para cada x, e cada y, x e y inteiros, tem-se

1.      

2.      

3.      

4.      

5.      

3.       MÚLTIPLOS E DIVISORES

         DEFINIÇÃO 1.2 Dados dois inteiros a e b, dizemos que

• a divide b, ou que

• a é divisor de b, ou que

• a é fator de b, ou ainda que

• b é múltiplo de a,

Se existe um inteiro c, tal que b = a .c.

        OBSERVAÇÃO1.1Se a e b são inteiros, escrevemos aǀb para denotar que a divide b. Se a não divide b, denotaremos ałb.

        OBSERVAÇÃO 1.2 Ao denotar que a divide b, não escreva a / b e nem tampouco a \ b. Lembre-se que a / b denota a fração a sobre b no conjunto dos números racionais. Já a \ b, com a e b inteiros é notação que carece de significado.

         EXEMPLO 1.1

• 2 ǀ (-6), pois -6 = 2 . (-3)

• Para cada inteiro a, a ǀ ae a ǀ 0, pois, respectivamente, a = a.1 e 0 = a.0

• 0 ǀ 0 (zero divide zero!), pois 0 = 0 . c, para qualquer inteiro c∀m,n

• 0 ǀ a ↔ a = 0. De fato, 0 ǀ a ↔ a = 0. C = 0, para algum inteiro c.

           PROPOSIÇÃO 1.2 Para cada a, cada b, e cada c, todos inteiros,

1.       a ǀ a

2.       aǀb e bǀa  ↔ a = ±b

3.       aǀb e bǀc =>aǀc

4.       aǀb e aǀc =>aǀ(mb±nc),∈Z

5.       aǀbaǀ (b±c)

DEMONSTRAÇÃO sejam a, b e c números inteiros. Então

2. aǀb e bǀa  para certos inteiros x e y 

Se a = 0, então b= ax =0

Se a ≠0, então a = a(xy)

Logo, a = by = b(±1) = ± b.

Reciprocamente, a = ±b

4.       ALGORITMO DA DIVISÃO EUCLIDIANA

TEOREMA DO ALGORITMO DA DIVISÃO EM N. Para cada inteiro n e cada inteiro d ≠0, existem inteiros q e r satisfazendo

               n=  d . q + r 0≤ r < d

Além disso, os inteiros q e r, nas condições acima, são únicos.

A versão mais útil desse teorema, para os inteiros, tem a seguinte forma:

TEOREMA 1.1 ( ALGORITMO DA DIVISÃO EM Z)  Para cada inteiro n, e cada inteiro d, com d≠ 0, existem inteiros q ( quociente ) e r (resto) satisfazendo:

                                                   n = dq + re 0 ≤ r <

Além disso os inteiros q e r, nas condições acima, são únicos.

EXEMPLOS DE ILUSTRAÇÃO

Na divisão euclidiana de 23 p0r 10 temos                23

resto→            3   2 ← quociente

Na divisão – 23 por 10 seríamos tentados a fazer            -23

                                                                                                     -3-2

É claro que -23 = 10 . (-2) + (-3), mas se quisermos o resto r nas condições do teorema 1.1( r não negativo e menor que o valor absoluto do divisor), o quociente e oresto no diagrama acima são inadequados. O diagrama correto seria       -23

                                                                                                    7-3

Pois -23 = 10 . (-3) + 7      e     0 ≤ 7<

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 1.1

I.                    Existência de q e r.

( 1º caso n≥ 0). Como > 0, pelo algoritmo da divisão em N, existem números naturais q e r satisfazendo

                      n =  . q + r ,  0 ≤ r <

Teremos então n = dq’ + r, com 0≤ r < , sendo  q’ = ±q conforme tenhamos, respectivamente, d > 0 ou d< 0.

( 2º caso: n < 0 )  Como > 0, pelo algoritmo da divisão em N, existem q, r ∈ N satisfazendo

 = q + re  0 ≤ r <

Então temos

                    -n=  q + r

                     n=  - q – r

Se r = 0,teremos n  =  - q  =  d(±q), conforme tenhamos, respectivamente,  d > 0 ou d < 0, logo n =  d(±q) + 0.

Se r ≠0, teremos                                       n =  - q – r

                                                                          = - q -  +  – r

                                                                          = (-q-1) + (  – r)

                                                                         = dq’ + r’

Sendo q’ = ± (q + 1) (conforme se tenha, respectivamente, d > 0 ou d < 0) e r’ =  – r.

Note que 0 < r <  - < -r < 0  + < -r + <  0 < r’<

II.                  Unicidade de q e r.

Sejam n e d dois inteiros, com d ≠0, e suponhamos que existam inteiros q_1,q₂, r₁  e r₂ satisfazendo

                              n = dq₁ + r₁ = dq₂ + r₂,com 0 ≤ r₁ , r₂<

Então

                                                  d(q₁ – q₂) = r₂ – r₁  .  =

Sendo 0≤ r_1, r₂ < , temos então <

Daí,

 .  = < < 1  q₁ – q₂  = 0  q₁ = q₂ e então, também, r₁ = r_2.