Princípios, mecanismos e aplicações da
Geometria analítica: Cônicas
Josefa Elisangela Pereira
4º Período de Matemática
Faculdade de formação de
Professores de Afogados da Ingazeira-
FAFOPAI
14 de dezembro de 2010
Email: jo1elispink@hotmail.com
Resumo
Este tem por objetivo auxiliar no processo ensino/aprendizagem da disciplina. Onde o foco maior é estudar as curvas cônicas. O estudo desse assunto torna-se mais importante quando se procura analisar as suas aplicações dentro de um contexto histórico cultural observando a evolução dos estudos, através dos tempos. Ao se tratar do estudo das cônicas, nota-se o seu importante papel nas várias áreas como da Física, Astronomia, Engenharias e Arquitetura Contemporânea. Este trabalho apresenta e explana algumas dessas aplicações observando a relevância do estudo das cônicas dentro da matemática. Bem como aborda aspectos históricos e teóricos como origem e definições.
Introdução
O conceito de cônicas assim como qualquer outro sofreu mudanças desde as idéias primitivas do que elas poderiam representar sendo assim lhe acrescentadas outros conceitos que viriam a facilitar a compreensão da mesma.
Porém vinda da palavra grega KONIKOS (que tem forma de cone) elas são representadas no plano cartesiano e assim surgem as formas geométricas das curvas. Diversos autores apresentaram ao longo de cerca de 24 séculos de História muitas outras caracterizações para tais curvas. As primeiras se serviam de um cone como elemento de partida. A seguir, vieram: a do foco e diretriz, a caracterização bifocal, as que se serve de construções mecânicas, a que faz uso de ângulos como parâmetros, a que utiliza Álgebra Linear, etc. A elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência eram obtidos como seções de cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo reto ou obtuso). Elas são obtidas nos cortes feitos em um cone como mostra a figura.
http://www.ccvalg.pt/astronomia/historia/johannes_kepler.htm
Dentre os matemáticos gregos podem ser citados mais de 30 nomes de estudiosos que enfocaram sobre o assunto durante o período anterior ao nascimento de Cristo. Entre os que se dedicaram aos estudos das cônicas destacaram-se: Menecmo, Euclides e Arquimedes. Mas já havia orientações gerais sobre as seções cônicas, conhecidas antes da época de Euclides (325-265 a c) e a elas foi atribuída uma diversidade de definições. Segundo a sua bibliografia:
A obra de nível mais avançado foi precisamente àquela feita por Apolônio de Perga, que era um matemático e geômetra grego que viveu em Perga, na cidade de Panfília (Ásia Menor) cerca de
Mas tarde (1.629) Coube a Pierre de Fermat a descoberta de que as seções cônicas podem ser expressas por equações do segundo grau nas coordenadas (x, y). O que não tinha sido citado no estudo de Apolônio de Perga, contudo a sua importância não pode ser questionada de forma alguma, pois esse estudo subsídiou várias outras descobertas de importantes nomes como: Isaac newton e kepler, que a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no espaço.
Desenvolvimento do estudo das cônicas
Utilizando-se da geometria analítica podemos descrever e resolver problemas geométricos, esse método diz ser um mérito do pai da filosofia René descartes (1.596-1.650), mas na verdade na sua obra “Discours de la Méthode' ', publicada em 1.637 em Leyden, na Holanda”, em um capitulo chamado de La Géometrie continha apenas idéias da utilização de coordenadas nas resoluções dos mesmos deixando a desejar o conceito do que hoje se conhece bem na geometria analítica, pois o mesmo não chegou sequer a deduzir a equação de uma reta. Deixando o marco principal da mesma para Pierre de Fermat.
Denomina-se cônica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta fixa d é igual a uma constante não negativa e. O ponto fixo é chamado de foco, a reta fixa de diretriz e a razão constante de excentricidade da cônica. Quando e =
Levando em conta o conceito acima citado podemos então enfatizar que qualquer cônica suave com exceção do círculo que é um caso particular de uma elipse, contém uma diretriz e um foco. Dentro da geometria analítica podemos estudar detalhadamente cada Curva cônica e suas propriedades: Excentricidade, diretriz e foco.Conceito de Excentricidade segundo um estudo de alunos da universidade federal do Rio de Janeiro:
A distância entre os dois focos de uma cônica é chamada distância focal e simbolizada por 2c. Define-se excentricidade e no plano (também pode ser definida no espaço) à razão entre o raio do círculo diretor (2a) e a distância focal (2c): e = c / a.( CÔNICAS: UM EXCELENTE ELO CAPAZ DE MOSTRAR AS CONEXÕES ENTRE A GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO,Francisco Quaranta,Luciana Felix da Costa,Luiz Carlos Guimarães)
Ela (excentricidade) permite diferenciar as cônicas através de uma informação muito importante, as quais são de extrema importância e necessidade quando se está aprofundando o tema em estudo, são elas:
Elipse – c < a e < 1,
Parábola – c = a e = 1
Hipérbole – c > a e > 1
A cônica é o lugar geométrico de dois pontos cuja distância ao outro ponto dado, denomina-se de foco e é igual ao produto da excentricidade pela distância desses pontos a uma reta dada denominada diretriz.
As cônicas podem ser estudadas de um ponto de vista plano, ou de um ponto de vista espacial.
Proposições
ELIPSE: É uma curva plana fechada que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo à sua base. O ângulo do plano é menor que o ângulo que a geratriz forma com a base. É o lugar geométrico dos pontos de um plano, cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano (focos) têm uma soma constante e igual ao seu eixo maior.
orbispictus.com.br
HIPERBOLE: É uma curva plana aberta, com dois ramos, que se obtêm da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo ou perpendicular á sua base. O ângulo do plano é maior que o ângulo que a geratriz forma com a base. É uma curva plana aberta, com dois ramos, em que a diferença das distâncias de um dos seus pontos a dois pontos fixos (focos) é constante e igual ao seu eixo real.
somatematica.com. br
PARÁBOLA: É uma curva plana aberta que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua geratriz. É uma curva plana aberta, cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz).
miltonborba.org
Quando um plano que não tem vértice e nem é perpendicular ao seu eixo interceptar um cone, três diferentes curvas podem ser obtidas: elipse, parábola e hipérbole através dessa interseção. Tais curvas são chamadas de cônicas.
Aplicações cônicas e suas propriedades refletoras
Existem diversas aplicações que utilizam algumas propriedades refletoras das cônicas. Elas aparecem nas construções civis, em problemas de navegação e comunicação e denominam se em: parabolóides, hiperbolóides e elipsóides. Tomamos como exemplos as: superfícies refletoras (espelhos, antenas, ou para criar sons acústicos em auditórios, teatros, etc.) que são usadas e úteis em várias aplicações tecnológicas. Veja abaixo representação de algumas delas:
*SUPERFÍCIES REFLETORAS PARABÓLICAS (PARABOLÓIDE): Um bom exemplo delas são as antenas parabólicas que captam sinais e concentra-os em um único ponto para serem tratados e transferidos para o fim ao qual se destinam. Por isso elas são de formatos parabólicos.
*SUPERFÍCIES REFLETORAS ELÍPTICAS (ELIPSÓIDE): Como é citado na proposição da elipse é “que uma superfície elíptica refletora, reflete para outro foco”, como é o caso das construções dos aparelhos odontológicos, aparelhos de radioterapia, etc, onde é preciso concentrar o máximo de luz em um só ponto.
*SUPERFÍCIES REFLETORAS HIPERBÓLICAS: Seu objetivo é fazer com que a imagem, após ser refletida, seja formada na posição do foco de outra folha do hiperbolóide, um exemplo disso é o telescópio que tem o formato parabólico e que é refletido passando pelo “foco”.
Essas formas geométricas são de grande utilidade em diversos campos de estudos, pois elas servem de base para criação de muitos outros objetos que só vem a beneficiar a humanidade.Por isso são muito importantes.
Conclusões
O produto final dessa pesquisa é um trabalho comentado e ampliado de uma pesquisa acompanhada de leitura centrada na abordagem as cônicas. Procurando passar ao leitor uma fácil compreensão e assimilação no que se refere às mesmas.
O estudo das cônicas se torna extremamente amplo no que diz respeito as suas aplicações e utilização das definições e dos conceitos geométricos envolvidos neste. Além disso, o conhecimento de construções de modelos usando Geometria permite a análise de uma vasta variedade de exemplos, favorecendo a compreensão das propriedades geométricas no plano e no espaço, permite uma melhor visualização e aprofundamento no que tange às características geométricas das cônicas. E oferece melhores condições para o desenvolvimento de ferramentas tecnológicas que auxiliam a humanidade para uma melhor vivência no mundo moderno.
Espera se que este possa contribuir com uma maior compreensão da Geometria por parte do estudante de Matemática no que se referem às aplicações das cônicas nos diversos campos aos quais podem ser aplicados à mesma
Enfim, este trabalho oferece um texto que pode ser utilizado para uma complementação no estudo e ensino das curvas cônicas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://www.mathematicsdictionary.com/spa... 07/12/2010
http:/www.sato.prof.ufu.br/cônicas/curso_conicasaplicaçoes.pdf 09/12/2010
www.ime.usp.br/~leo/imatica//conicas.html 09/12/2010
www.coladaweb.com/matematica/coni 09/12/2010
Tinoco, L. – Geometria Euclidiana (Por meio de resolução de problemas) – Rio de Janeiro, 2004. 14/12/2010
KENDIG, K. – Conics – Estados Unidos, 2005.
http://miltonborba.org/Geo_Ana/Conicas.htm 14/12/2010
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